一、函数的仿周期：我们知道周期函数的图像实际上可看成将函数f(x)一个周期的图像向左或向右不断平移得到的，若在每次平移的同时；还有横向或纵向的伸缩，这样形成的函数称之为仿周期函数。而解决仿周期函数问题通常采用的办法是数形结合，其难点在于熟悉此类函数的图像特征，正确的画出函数图像。现举例说明：
（1）横纵伸缩型：定义在区间[1,+∞)上的函数f(x)当x满足[1,2)时；f(x)=
+3
-2，当x≥2时，f(x)=2f(
)，则可画出函数f(x)的图像如下：
(2)纵向伸缩型：定义在[1,+∞)上的函数f(x)当x满足[1,2)时，f(x)=
+3
-2;当x≥2时，f(x)=2f(x-1)，则其图像为：
二、函数的反周期：若函数f(x)=f(x+a)，则f(x)为周期是a的函数。若函数f(x)对于定义域内的每个x，都有满足f(x+a)=-f(x)成立，则称函数f(x)为反周期函数。进一步分析来看，将式中的x用x+a替换后可得f(x+2a)=f(x)；因此函数f(x)的周期为2a，其反周期则为a.另外从图像上看f(x+a)=-f(x)可以理解为将函数f(x)图像上长度为a的区间不断向左右两边移动a个单位，在平移的同时沿x轴再翻折一次，如此重复下去就可得到函数f(x)的全部图像。如下图所示：
已知定义在R上的函数f(x)满足:
f(x+
)=-f(x)；f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,求f(1)+f(2)+…+f()的值.
由题设知f(x+3)=f(x);故函数是以3为周期的函数，于是就有f(1)=f(-2)=-1,f(2)=-1,f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+…+f()=[f(1)+f(2)+f(3)]=0.
定义在(1,+∞)上的函数f(x)同时满足:
(1)对任意的x∈(1,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立；
(2)当x∈(1,2]时,f(x)=(x-2)2.设函数g(x)=f(x)-k(x-1);若g(x)恰有两个零点,求实数k的取值范围.
当x1时由题意在f(2x)=2f(x)中，用x/2替换x可得f(x)=2f(x/2)(x2)，做出函数f(x)的图像如图1，函数g(x)有两个零点等价于y=f(x)的图像与直线y=k(x-1)有两个交点,如图2临界状态为
和
,易求得两直线的斜率分别为k?=4/3,k?=2.由图可知k∈[4/3,2).
设f(x)为定义在R上的函数,且满足f(x)=2f(x),当0x≤1时;f(x)=x(x-1),若对任意的x≤m,都有不等式f(x)≥
恒成立,求m的取值范围.
由题图可知当m≤
时，对任意的x≤m都有f(x)≥
.当2x3时设f(x)=a(x-2)(x-3),将点(
)代入可求得a=4,令f(x)==4(x-2)(x-3)=-8/9,解得x=7/3或x=8/3,从图中观察可知x=7/3.故m≤7/3.
已知f(x)=
若f(x)=x+a有两个不等实根，求实数a的取值范围.
首先作出函数图像如下：
由图可知当直线y=x+a位于直线
右侧时与函数y=f(x)的图像有两个交点，即a1.
已知函数f(x)=
若对任意的x≤a,不等式f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围.
由题意做出函数图像如下：
由图可知当a≤x?时;对任意的x≤a,不等式f(x)≤3恒成立.当2≤x≤4时;设f(x)=k(x-2)(x-4),由f(3)=4,即f(x)=-4(x-2)(x-4),与y=3联立解得x=5/2或x=7/2,显然x?=5/2;所以a≤5/2.
