1、试作下列函数的图象：(1)y=x^2+1；(2)y=(x+1)^2；(3)y=1-(x+1)^2；(4)y=sgn(sinx)；解：如图：2、试比较函数y=a^x与y=logax分别当a=2和a=1/2时的图像。解：如图，当a=2时，y=a^x单调递增；当a=1/2时，y=a^x单调递减。当x0时，(1/2)^x2^x；当x=0时，(1/2)^x=2^x=1，即函数图象都过点(0,1)；当x0时，(1/2)^x2^x.对任意x∈R，函数值都大于0，∴它们的图像都在x轴的上方，关于y轴对称。y=logax是y=a^x的反函数，它们的图象关于直线y=x对称，增减性相同。当0x1时，log1/2xlog2x；当x=1时，log1/2x=log2x=0，即函数图象都过点(1,0)；当x1时，log1/2xlog2x.由于x≤0时，函数无定义，∴它们的图象在y轴的右方，关于x轴对称.3、如图，写出定义在[0,1]上的分段函数f1(x)和f2(x)的解析式。解：如图，当0≤x≤1/2时，f1(x)=4x；当1/2x≤1时，f1(x)=-4x+4.当0≤x≤1/4时，f2(x)=16x；当1/4x≤1/2时，f2(x)=-16x+8；当1/2x≤1时，f2(x)=0.4、确定下列初等函数的存在域：(1)y=sin(sinx)；(2)y=lg(lgx)；(3)y=arcsin(lg(x/10))；(4)y=lg(arcsin(x/10))解：(1)∵sinx的存在域为x∈R，∴y=sin(sinx)的存在域为x∈R.(2)∵lgx的存在域为x∈(0,+∞)，∴lgx0，∴x1.∴y=lg(lgx)的存在域为x∈(1,+∞).(3)∵arcsinx的存在域为x∈[-1,+1]，∴-1≤lg(x/10)≤1，即1/10≤x/10≤10，∴1≤x≤;∴y=arcsin(lg(x/10))的存在域为x∈[1,].(4)∵lgx的存在域为x∈(0,+∞)，∴arcsin(x/10)0，∴0x/10≤1，即0x≤10；∴y=lg(arcsin(x/10))的存在域为x∈(0,10].5、设函数求:(1)f(-3),f(0),f(1)；(2)f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0)(△x0)解：(1)f(-3)=2+(-3)=-1;f(0)=2+0=2;f(1)=2^1=2.(2)∵△x0,∴f(△x)-f(0)=2^△x-2;f(-△x)-f(0)=2+(-△x)-2=-△x.6、设函数f(x)=1/(1+x)求：f(2+x),f(2x),f(x^2),f(f(x)),f(1/f(x)).解：f(2+x)=1/(1+2+x)=1/(3x+x)；f(2x)=1/(1+2x)；f(x2)=1/(1+x^2)；f(f(x))=1/[1+1/(1+x)]=(1+x)/(2+x)；f(1/f(x))=1/(1+1+x)=1/(2+x).7、试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：(1)y=(1+x)^20;(2)y=(arcsinx^2)^2;(3)y=lg(1+根号(1+x^2));(4)y=2^[(sinx)^2]解：(1)y=u^20,u=v1+v2,v1=1,v2=x；(2)y=u^2,u=arcsinv,v=x^2；(3)y=lgu,u=(u1+u2),u1=1,u2=根号v,v=u1+w,w=x^2；(4)y=2^u,u=v^2,v=sinx.8、在什么条件下，函数y=(ax+b)/(cx+d)的反函数就是它本身？解：y=(ax+b)/(cx+d)的反函数为：y=(b-dx)/(cx-a).当a+d=0时，(ax+b)/(cx+d)=(b-dx)/(cx-a).∴当a和d互为相反数时，函数y=(ax+b)/(cx+d)的反函数就是它本身.9、试作函数y=arcsin(sinx)的图象.解：如图，其周期为2π，值域为[-π/2,π/2]10、试问下列等式是否成立：(1)tan(arctanx)=x,x∈R；(2)arctan(tanx)=x,x≠k+π/2，k=0,±1,…解：(1)∵arctanx的值域为[-π/2,π/2]，∴(1)式成立.(2)∵tanx在[-π/2,π/2]外有定义域，而arctan(tanx)的值域为[-π/2,π/2]，∴(2)式不成立.11、试问y=
x
是初等函数吗？解：y=
x
=根号(x^2)=根号u;u=x^2;可见y=
x
是由基本初等函数有限次复合而成的函数，∴y=
x
是初等函数.12、证明关于函数y=[x]的如下不等式：(1)当x0时，1-xx[1/x]≤1；(2)当x0时，1≤x[1/x]1-x.证：1[1/x]≤1/x，即(1-x)/x[1/x]≤1/x；(1)当x0时，1-xx[1/x]≤1.(2)当x0时，1≤x[1/x]1-x.
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