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;b)一个对称轴且一个对称中心时，周期为4
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。提示1：推导方法最好是画图；当然也可用代数式推导。下图为双对称轴时的示意图（提示：示意图中以对称轴代表图像，使图像简洁，可读性好）。上图中，若先以对称轴b为轴，可得轴a的对称部分轴1；再以对称轴a为轴，可得轴b和1的对称部分轴2和3……以此类推，图像不断朝两侧扩展而得到完整的图像（需要一点理解和想象能力。若有困难，可在正弦图像上推衍一下），并直观地看到一个周期函数，周期为2
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。双对称中心、一个对称中心与一个对称轴的情况也一样，即两轴或一中心一轴交替出现在图像上。但是，因为每个对称中心两侧图像会上下翻转，所以一个周期至少有两个对称中心（即连续翻转两次可使图像复原），所以双对称中心时周期为2
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，一个对称中心与一个对称轴时周期为4
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（即必须有两个对称中心）。提示并思考：理解上图画法及其原理说明，同学们记住这几个结论不再困难了，也不易搞混这几个结论了，所以“勤于思考、乐于动手、善于总结”，才能轻快学习！提示2：一般地，“（自变量）同号看周期、异号看对称”。⑤函数的自对称与两个(复合)函数相互对称之辨析不要把函数的自对称与两个函数相互对称搞混淆了。前者时，两个函数表达式实为同一函数上两不同点，把它们的中间变量相加除2即得函数的对称轴所在；而后者时，两个函数表达式实为两个不同函数上的点，由它们的中间变量相等而解得的x即为两函数的对称轴所在。上面文字说起来有些抽象，看一个例题就明白了：提示：两个函数关于某轴对称的解题一般方法也要类似地先确定对称轴，再根据对称相关性质求解。3)解决周期性问题的一般方法周期问题一般要先明确或求出周期，再利用周期性质来求解。①定义法两个相等复合函数的中间变量相减为定值，即f(x)=f(x+T),且nT均为其周期。②变式f(x)=-f(x+a)、f(x)=±1/f(x+a),f(x+a)=(f(x-a),f(x+a)=(1-f(x))/(1+f(x))等的周期均为2a。（学会推导）。提示：当函数等量关系的自变量差值为定值时，一般可推出其周期！推导一般方法——观察,若已知式中自变量之间差值为d，可先试着推出f(x)或f(x+2d)的式子。4)典型例题讲解：①本题为利用单调性求参数范围之题型。解题过程中务必抓住要点，即紧扣奇偶性的概念和性质。②实际上，本题的题目及其解题过程实际上代表了抽象函数的典型应用之一,即在函数表达式未知的情况下，可利用抽象函数的性质（如单调性、奇偶性等），使函数值域间关系与自变量（含复合函数之中间变量）间关系按需转化（即正推或逆推）后，可便捷地解题。比如，已知单调性，又知道两抽象函数式间大小关系，则其对应的自变量间的大小关系；反之亦然。例2已知函数f(x)是R上不恒为0的偶函数，且对任意x均有：xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f(3/2)的值是___。A.0B.1/2C.1D.1/5解：由于：f(x+1)/f(x)=(1+x)/x,则令f(-1+1)=0,则：f(x)是实数集,则有：f(x+1)/f(x)=(1+x)/x,令f(3/2)=3f(1/2),令f(1/2)=-f(-1/2),又f(1/2)=f(-1/2),则：f(1/2)=0,∴f(3/2)=3f(1/2)后，就得求出f(1/2)表示出来；c)上一步得到了1/2和-1/2时可以考虑奇偶性来求解了。否则继续重复上两步类似得操作，直至可求解。讲解：①求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数的一般方法（代入法）假设待求函数上一点；利用对称性，求出其对称点；将对称点代入已知函数后即得解。②事实上，上述一般思路的处理方法也体现了有关对称问题的最基本方法（或最朴素的想法）——利用对称性，在未知上找出已知项的对称项，或在已知上找出未知项的对称项。然后在此基础上，再根据题型、条件差异灵活应变就不难了。例4函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f(x(x-1/2))0的解集.讲解：①本题为利用函数单调性和奇偶性求解函数值。详见例2的讲解。②题中0用已知的f(-1)或f(1)来替换的小技巧也用于恒等变换、解三角形等题型。同学平时多总结和运用常用的技巧和方法，坚持下去很快就会熟能生巧。例5f（x）是定义在R上的偶函数，且g（x）是R上的奇函数，已知g（x）=f（x-1），且f(-2)=a（a为常数），则f（）=_____。解：∵g（x）=f（x-1），∴g(-x)=f(-x-1)=f(-(x+1))=f(x+1),又g(-x)=-g(x)=-f(x-1)∴f(x+1)=-f(x-1)=-f(1-x)∴f（x）的图像关于点（1，0）对称，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图像关于y轴对称．∴f（x）是周期函数，4为周期．∴f（）=f（2）=f（-2）=a。讲解：①本题涉及函数奇偶性和（双）对称性。解题过程中要紧扣单调性和奇偶性的概念和性质。②本题的解答思考、分析过程分享（供参考）f()给了一个“明确”的暗示（至少优先这么思考）——有规律；题目求解f()，未涉及到g(x)，所以一般认为（或者说出题人的意图要）g(x)在题中作为媒介来帮助推导出f(x)的规律，这样解题过程中的变换方向也就清晰了。例6定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=___。解：∵f（x）f（x+2）=13（提示：类似f(99)一般都要找规律）∴f（x+2）f（x+4）=13，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是一个周期为4的周期函数，∴f（99）=f（4×25-1）=f（-1）=13/f(1)=13/2例7定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[_T,T]上的根的个数记为n，则n可能为___。A.0B.1C.3D.5温馨提示：本文为高中数学必修1第15讲。
