近期在复盘函数专题时突然想到年全国2理科数学第12题，题目如下：题目虽然考查的是函数解析式的求法，但其中包含了函数的周期性思想，最近也遇到了类似的题目，今天把此类问题做一次总结。书上关于周期性的定义为：若T≠0，f(x+T)=f(x)，则T为函数的周期，在各个周期内函数值域相同，单调趋势也相同，但如果把等式关系变为f(x+T)=kf(x)，此时的函数虽不是周期函数，但具有周期函数的某些性质，当k≠1时，相邻周期内函数的值域成倍数关系变化，但函数的单调趋势不发生变化，怎么去理解这个等式？以下题为例：根据函数奇偶性可得f(x+2)=3f(x),如果从函数的解析式方面来说，若要求出在[-4,-2]上的函数表达式，则要求出函数在[-2,0]上的解析式，已知的是x在[0,2]上的解析式，进行转化就很简单了，如下：对应的函数图像如下：从图上可知在以2为类周期的函数中，单调趋势没有发生变化，均为先减后增，若了解这个性质，则只需要求出函数在[0,2]上的最小值，然后最值扩大两次即可。若从函数单调性方面来看，高一数学中对函数的周期性研究并不深，在三角函数中却有较多的篇幅去探究，已知f(x+2)=3f(x)，变形为f(x+2)/3=f(x)，类比于函数f(x)=sinx,则y=f(x+2)/3的图像变化为从某个定点开始向左平移2个单位之后，横坐标不变，纵坐标压缩成原来的三分之一即可，若不从三角函数方面来考虑，已知f(x+2)=3f(x),x∈[m,n]，则x+2∈[m+2,n+2],即从区间[m,n]上任意一点k,变换之后为k+2，，此时k+2对应的函数值为k对应函数值的3倍，图像从左往右依次变长，再来看年的全国2理数第12题，能判定出从区间(0,1)开始，整体向右平移一单位之后的函数图像拉长为原来的二倍，图像如下：以上的形式为f(x+a)=kf(x)形式，这种形式类周期不发生变化，即只平移，x轴不压缩，还有一种既改变类周期，也改变图像，形式为f(bx+a)=kf(x)，此时涉及横纵坐标的伸缩变化，典型例题如下：把函数当成三角函数的平移变化就很容易看出图像的趋势，若从函数图像伸缩看来，把等式变形为f(x-1)=2f(x)，可理解为当x∈[m,n]时，x-1∈[m/2-1,n/2-1]，若从区间[m,n]上任意一点k，变换后的点为k/2-1，此时k/2-1对应的函数值为k对应函数值的二倍，函数图像从左往右值域逐次变为原来的一半，类周期从左往右增大一倍，相似的题目如下：本题目和上题类似，只看f(x)=2f(x-2)，若写成f(x-2)=f(x)，在区间(0,2)上任意一点k,变换后的点为k-2，k-2对应的函数值为k对应函数值的一半，即图像越往左越矮，越往右越高，若从三角函数平移来看，直接就是向右平移之后横坐标不变，纵坐标拉长为原来的二倍。这种题目并不难，但有的同学会搞反，总的来说有三种方式来判断函数的趋势变化，第一是求出各个区间的解析式，通过解析式来看图像的趋势变化，第二是根据三角函数平移变换，这是最简单最直接的一种方法，第三是分析定义域内点的变化以及变化前后函数值的变化来判定，这种题目可考查的题型很多，也可与数列结合，务必重视。
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