a
,(a≠0)的类型：F(x+a)+f(x)=常数C型证明：因为f(x+a)+f(x)=C①所以f(x+2a)+f(x+a)=C②②-①，得f(x+2a)-f(x)=0即f(x+2a)=f(x)故函数周期T=2
a
其常见变形形式有f(x+a)=-f(x)f(x+a)·f(x)=C型证明：因为f(x+a)·f(x)=C①所以f(x+2a)·f(x+a)=C②②/①，得f(x+2a)/f(x)=1即f(x+2a)=f(x)故函数周期T=2
a
其常见变形形式有：f(x+a)=1/f(x)f(x+a)=-1/f(x)f(x+a)=k/f(x)(k≠0)还有这几种形式周期也是T=2
a
f(x+a)=f(x-a)f(x+a)=[f(x)+1]/[f(x)-1]f(x+a)=[1-f(x)]/[1+f(x)]证明：f(x+a)=[1-f(x)]/[1+f(x)],①则ff(x+2a)=[1-f(x+a)]/[1+f(x+a)]②将①式代入②式，得f（x+2a）=f(x)周期T=2a，二、函数周期性结论二T=
a-b
型f(x+a)=f(x+b)函数周期性结论三T=6
a
型若f(x+2a)=f(x+a)-f(x),则周期T=6
a
证明：因为f(x+2a)=f(x+a)-f(x),①所以f(x+3a)=f(x+2a)-f(x+a),②①+②，得f(x+3a)=-f(x)所以T=6
a
三、其他函数周期性结论：若对于任意实数x,都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x),T=2
a-b
(a≠b)若f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，则T=4
a
(a≠0)若f(x)为奇函数，且关于点（a,0）对称，则T=2
a
(a≠0)若f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，则T=2
a
(a≠0)若f(x)为偶函数，且关于点（a,0）对称，则T=4
a
(a≠0)总结：函数周期等于对称轴之间距离的2倍，等于对称中心之间距离的2倍，等于对称轴与对称中心之间距离的4倍联想记忆：f(x)=sin(x),两条对称轴间隔是π，周期是2π，所以周期是对称轴之差的2倍f(x)=sin(x),两个对称中心间隔是π，周期是2π，所以周期是对称中心之差的2倍。f(x)=sin(x),对称中心与对称轴间隔是π/2，周期是2π，所以周期是对称中心与对称轴之差的4倍。四、强化训练题习题1定义在R上的函数f(x)=-f(x+3/2),f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+……f()+f()=()A,-2B.-1C.0D.1解析：由f(x)=-f(x+3/2)，知F(x)周期T=2X3/2=3于是f(1)+f(2)+f(3)+……f()+f()=f(1)+f(2)+f(3)+……f()+f()+f()-f()=(f(1)+f(2)+f(3))-f(0)=[f(-2)+f(-1)+f(0)]-2=-2答案选A习题2F(x)定义域为R,且对定义域内任意x都有f(x+1)=[1-f(x)]/[1+f(x)],若f(2)=1,则f()=______.解析：若f(x+a)=[1-f(x)]/[1+f(x)],①则f(x+2a)=[1-f(x+a)]/[1+f(x+a)]②将①式代入②式，得F（x+2a）=f(x)周期T=2a，f(x+1)=[1-f(x)]/[1+f(x)],周期T=2则f()=f(1+4X)=f(1)又f(1+1)=[1-f(1)]/[1+f(1)]F(2)=1所以f(1)=0,则f()=0习题3定义在R上的函数f(x)=log_2(1-x)(x=0)时，当x0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2),则f()的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：当x0,由f(x)=f(x-1)-f(x-2),可得f(x+1)=f(x)-f(x-1),消去f(x),得f(x+1)=-f(x-2),于是f(x+3)=-f(x),所以T=6所以f()=f(2)=f(1)-f(0)=f(0)-f(-1)-f(0)=-f(-1)=-1这个题目很容易出错，f（2）=f(-4)=log_25,这是错误的
