前文我们介绍完了函数的单调性和周期性。后面介绍了几个特殊的函数，但是还有一个特别重要的函数没有介绍。主要原因在于，它需要重点来进行说明。
这个函数就是取整函数，它是在x外面套了一个方括号。它所代表的是取不超过x的最大整数。对于x0的情况没有什么可说的。就是在x0的时候需要注意，不要不小心写错了。比如x代入-3.5，得到的值应该是-4，建议可以画一个坐标轴辅助自己来进行判断。
当然如果对于取整函数的认识仅仅到这个地步，那最多也就是一个初中水平。
比如现在有这么一个问题，直接给你一个取整函数，让你对它进行积分。有些同学就直接傻眼了，它的方括号应该怎么样去解决呢？
其实取整的函数本质上不过是一个分段函数。我们这边来具体解释一下。
假如我们现在有一个取整函数，[x]，x∈[-1,1]，它实际上是什么？如下图所示：
将取整函数转变为分段函数形式以后，积分就不存在什么问题了。接下来只要去做一个段函数的积分即可。当然如果各位不会做分段函数的积分，那么以后再讲。
接下来一些初等函数，以及函数的运算比较简单，就不花什么功夫就介绍了。这里唯一需要注意的是幂函数和指数函数要做区分。幂函数是其底数为自变量，而指数函数则是其指数为自变量。
最后我们还要介绍两种特殊的函数概念，分别是反函数和复合函数。
对于反函数而言，有两种情况。前者是没有交换未知数的情况，而后者则是交换了未知数的情况，我们首先来介绍前者。
如上图所示，这是没有进行未知数互换的情况。这个时候函数与反函数的图像是什么样子的？明显它们两个的图像应该是一样的，所以这两个实际上就是同一个函数。
接下来如果我们把后面的x与y进行互换了，则这个时候，这两个函数就不再是同一个函数了。这两个函数的图像是关于y=x对称的。事实上，这才是真正意义上的反函数。
接下来有一个问题，在上图关于y=x对称的两个函数中，它们的x是否是相同的,就说它们的是否是同一个x？
答案是肯定的，回顾我们整个反函数的制造过程。我们发现恰恰是因为互换这个操作，使原来函数的自变量x在反函数中依然作为自变量出现。原来函数中的因变量y在反函数中也还是因变量。
那么反函数到底反了什么？所以接下来就是反函数的本质，反函数仅仅反了对应法则。
这边再举一个例子进行更好的说明。本来x是在空中顺时针转体三周半到的y。那对于反函数而言，x就是在水面下逆时针转体三周半到的y。
反函数仅仅会反对应法则对函数中的其它量秋毫无犯，这个一定要牢牢记住。
在说反函数的一些性质之前，首先我们要去介绍复合函数。复合函数的定义这边就不多说了，请各为自己看书。唯一需要注意的是复合出来的函数定义域要取两个函数中小的那一个。
那么接下来精彩的一点就要出现了。如果f(x)和g(x)互为反函数，请问f[g(x)]等于多少？
答案是等于x，其实答案是什么不重要，关键是为什么等于x。我们还记得反函数反得是对应法则，所以f和g这两个对应法则刚好抵消掉了，最后就剩下一个x。因为两个反函数的x是同一个自变量x，所以没有受到任何影响。如果没有之前的互换，就不会存在这一性质。各位可以随便找两个反函数试一下。
接下来反函数的一个重要性质，函数与其反函数的单调性相同。这个就需要用导数来进行证明了，如下图所示。
为什么右边的值会等于1，就是因为前面所说右边的答案是x，x导数是1。那么要满足右边的值为1，只有可能左边两个都是正数或者都是负数的情况下才行。所以函数与其反函数的单调性一定是一样的。
其次，对于复合函数，其单调性和反函数的单调性证明方法是一样的。
那么到目前为止，各位对于函数的认识大概到了初级阶段的最高峰。接下来其实就是将函数结合积分和导数的玩法了。
如果你并没有学过积分和导数，不幸被封面吸引进来，看到了这篇文章，那么把结论记下来也算是一个收获。希望这些可以对各位有帮助。
