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必看系列2函数的性质梳理,单调性奇偶

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(侯老师使用APP制作)上节课我们已经探讨过函数的定义问题,大家一定要记得函数的三个关键词:定义域、对应关系、值域。时刻牢记函数的三个关键词,可以有效防止大家做题时犯错。那这节课老师将继续讲解有关函数的知识。函数是描述事物运动变化规律的数学模型。通过函数图像我们可以很容易发现函数存在一定的规律,那函数到底具有什么性质呢?一、函数的单调性及函数最值问题通过函数图像,我们可以很直观地观察到y值有时是随着x的增大而增大,有时候是随着x的减小而减小。我们所说的有时实际就是定义域的某个区间。函数的这种性质就是函数的单调性,在人教版教材中,函数的单调性这般定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上任意两个变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;反之,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。(截取自人教版教材)如果函数的y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。说到单调区间,就不得不说函数的最值问题,即最大值(max)和最小值(min)。具体定义见下图↓(截取自人教版教材)二、函数的奇偶性(侯老师使用手机APP制作)形如上图的函数,我们会发现函数图像有时是关于y轴对称,有时是关于原点(0,0)对称。函数的这种特性就是奇偶性。关于函数的奇偶性,教材这般定义:一般地,如果对于函数的f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。如果都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。另外我们必须知道:偶函数的对象关于y轴对称。奇函数的图像关于原点对称,如果奇函数f(x)在x=0处有意义,必有f(0)=0。函数奇偶性的判断方法主要包括两种:①定义法:第一先看定义域是否关于原点对称,第二看f(-x)与f(x)的关系。②图像法:看图像是否关于原点或y轴对称。除了上述两种判断方法外,我们还需要记住一些奇偶函数四则运算的性质:对于定义在同一个原点对称的定义域上的两个函数,两个奇函数的和仍为奇函数;两个偶函数的和仍为偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。具体见下图↓(侯老师使用电脑制作)三、函数的周期性一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。形如下图函数↓(侯老师使用APP制作)关于函数周期性的更多知识,在下面三角函数中会具体讲解,在这里就不再赘述。函数的性质是函数知识很重要的一个内容,几乎从不缺席往年的高考。我在这里只是简单地给大家作一理论的讲解,具体掌握还需要大家在习题中不断练习。多做题,勤练习。(截取自人教版教材)好了,这次我们就讲到这,下期见

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