将sinx与cosx分别取绝对值之后再求和，得到的函数f(x)=
sinx
+
cosx
的图象是怎样的？函数的周期性、奇偶性、增减性等是怎样的？
一、探究函数f(x)=
sinx
+
cosx
的图象，我们可以借助数学绘图软件，输入函数公式，软件自动生成的函数图象如下：
函数f(x)=sinx
+
cosx
的图象
观察图象可得出如下结论：
1.函数图象关于y轴对称，故f(x)=
sinx
+
cosx
是偶函数。
2.函数图象呈周期性重复，整个图象可以看成是将定义域在
0，
上的这段图象不断左右连续平移得到的。故f(x)为周期函数，最小正周期T=
。
3.函数图象在
上单调递增，在
，
上单调递减。根据函数的周期性，推广到整个函数图象可知：函数f(x)=
sinx
+
cosx
的图象在
，
上单调递增，在
+
，
+
上单调递减（其中k
Z）。
二、如果没有绘图软件，如何画出函数f(x)=
sinx
+
cosx
的图象以及如何分析论证得出函数的性质？
要画出函数f(x)=
sinx
+
cosx
的图象，我们就要首先分析函数的性质，分析它的周期性、奇偶性、增减性、最值极值等，通过它的这些性质再结合描点法得到它的图象。
1.奇偶性
f(x)=
sinx
+
cosx
f(-x)=
sin(-x)
+
cos(-x)
=
-sinx
+
cosx
=
sinx
+
cosx
=f(x)
故f(x)是偶函数。
2.周期性
法一：f(x)=
sinx
+
cosx
[f(x)]
=[
sinx
+
cosx
]
=1+
2sinx·cosx
=1+
sin2x
故f(x)=
由y=
sin2x
的最小正周期为
可得f(x)的最小正周期也为
。
法二：①先证明T=
是函数f(x)=
sinx
+
cosx
的一个周期。
f(x)=
sinx
+
cosx
f(x+
)=
sin(x+
)
+
cos(x+
)
=
cosx
+
sin(-x)
=
cosx
+
-sinx
=
cosx
+
sinx
=f(x)
故T=
是函数f(x)=
sinx
+
cosx
的一个周期。
②再证明f(x)不存在比
更小的正周期，方法是证明f(x)在
上的图象不具有重复性（不考虑端点）。函数的周期都是函数最小正周期T的整数倍，故若m是函数的一个周期但不是最小正周期，则函数图象在区间长度为m的区间上具有重复性，它是由区间长度为T的图象重复
次得到的。
我们可以通过去绝对值得到函数f(x)=
sinx
+
cosx
在
上的不含绝对值符号的表达式，进而判断出它的单调性，从而判断出f(x)在
上的图象不具有重复性。从而便证明了f(x)不存在比
小的正周期。
由此便证明了f(x)的最小正周期为
。
3.增减性（单调性）
我们只要判断出函数在一个周期内的增减性，便可以得到函数在整个定义域区间上的增减性。
故而我们只要判断出f(x)在区间
上的增减性，便可得出f(x)在(-
,+
)上的增减性。
求f(x)在区间
上的增减性，方法是去绝对值。
当x
时，sinx0,cosx0，
f(x)=
sinx
+
cosx
=sinx+cosx=
sin(x+
)
根据正弦函数的单调性性质易知f(x)在
上单调递增，在
，
上单调递减，在x=
时取得最大值（极大值）
，在x=0和x=
时取得最小值（极小值）1。
根据周期性推广到整个区间就是：
函数f(x)=
sinx
+
cosx
的图象在
，
上单调递增，在
+
，
+
上单调递减（其中k
Z），在x=
+
时取得最大值（极大值）
，在x=
时取得最小值（极小值）1。
于是在没有函数图象绘制软件的情况下，我们就通过分析得出了函数的周期性、奇偶性、增减性等性质，进而得出了它的图象。
对于数学而言，分析论证推出结论的过程比结论本身更重要，数学能力的提高就隐藏在分析推导过程之中，通过动脑分析解决问题可以让我们的大脑更聪明。小伙伴们，你们get到了吗？
#组合函数的单调性与最值问题#
